第22章 难得老师没拖堂(第1/2 页)

苏晚宝也是第一次看见这张卷子，本来听着老师讲课声音非常亲切，突然就听见叫她的名字。

“来吧。”王老师直接从台上走下来。

苏晚宝拿着空白的卷子走上去。

“（1）当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。”

“（2）若f(x)?1，求a的取值范围。”

晚宝站在讲台上，将题目看一下，心中快速想起方法。

一想起知识就很亲切，很喜欢这种将它在脑子里过一遍的感觉。

“她行吗？”

“这个夫子针对她，她都没看过这题，怎么可能写出来？”

“她明明站在那不行。”

“女子果然不适合读书，特别还是算数这种复杂的知识！”

只见她将卷子放在左手上，从讲台上拿根粉笔。

（1）当a=e时，f(x)=ex?1?lnx+1，f′(x)=ex?1?x1，f′′(x)=ex?1+x21，由于$f(1)=f(1)=1，f′(1)=0，f′′(1)=e＞0

所以点(1,f(1))是曲线y=f(x)的极小值点，且该点处的切线方程为y=1

该切线与两坐标轴围成的三角形的顶点为(0,1)和(1,0)，所以该三角形的面积为S=21×1×1=21

（2）由于f(x)?1，ex?1?lnx+lna?1既ex?1?lnx?lna+1，x?1?ln(lnx?lna+1)，令u=lnx?lna+1，则x=eu+elna?1，代入上式，得eu+elna?2?lnu.

v=eu+elna?2，则u=ln(v?elna+2)，代入v?ln(v?elna+2)+lnu.

由于v＞0，所以lnv＞?∞，所以只需考虑v?elna+2＞0的情况，即v＞elna?2，此时有v?ln(v?elna+2)+ln(lnv?lna+1).

令w=lnv?lna+1，则v=ew+elna?1，代入上式，得ew+elna?1?ln(ew?1)+w，即ew?1?elna?2w

由于w＞0，所以只需考虑elna?2＞0的情况，即a＞e2，此时有ew?1?a?2w

令t=ew?1，则w=ln(

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